Дружественные числа

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел [math]\displaystyle{ M, N }[/math] называют дружественной, если:

[math]\displaystyle{ m_1 + m_2 + \ldots + m_k = N, }[/math]

[math]\displaystyle{ n_1 + n_2 + \ldots + n_l = M, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m_1, m_2, ... m_k }[/math] — делители числа [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ n_1, n_2, ... n_l }[/math] — делители числа [math]\displaystyle{ N }[/math].

Большой важности для теории чисел эти пары не представляют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе.

Если учитывать все делители, получим: [math]\displaystyle{ \sigma(M) - M = N }[/math] или [math]\displaystyle{ \sigma(M) = M + N = \sigma(N) }[/math] другое определение дружественных чисел, эквивалентное данному. Два числа называются дружественной парой, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел.

Аналогично, три числа образуют дружественную тройку, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел. [math]\displaystyle{ \sigma(M) = \sigma(N) = \sigma(K) = M + N + K }[/math].

История

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора; правда, им удалось найти только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

• Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, — их сумма равна 284.
• Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, — и сумма равна 220.

Примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:

• 17 296 и 18 416;
• 9 363 584 и 9 437 056.

В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары: например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил — её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Первые пары

Пары дружественных чисел образуют последовательность A063990 в OEIS, причём числа, которые в своей дружественной паре являются меньшими, собраны в последовательность A002025, а бо́льшие - A002046. Суммы чисел в каждой паре образуют последовательность A180164. Примечательно, что все такие суммы, слагаемые где чётны, вплоть до [math]\displaystyle{ 1362660800=2^6\cdot5^2\cdot31\cdot83\cdot331 }[/math] (сумма [math]\displaystyle{ 666030256 }[/math] и [math]\displaystyle{ 696630544 }[/math]) делятся на [math]\displaystyle{ 9 }[/math]. Суммы, не делящиеся на [math]\displaystyle{ 9 }[/math], находятся в A291550.

1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
2. 1184 и 1210 (Паганини, 1866)
3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
6. 10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
7. 12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
8. 17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
9. 63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
10. 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
11. 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
12. 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
13. 79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
14. 100 485 и 124 155
15. 122 265 и 139 815
16. 122 368 и 123 152
17. 141 664 и 153 176
18. 142 310 и 168 730
19. 171 856 и 176 336
20. 176 272 и 180 848
21. 185 368 и 203 432
22. 196 724 и 202 444
23. 280 540 и 365 084
24. 308 620 и 389 924
25. 319 550 и 430 402
26. 356 408 и 399 592
27. 437 456 и 455 344
28. 469 028 и 486 178
29. 503 056 и 514 736
30. 522 405 и 525 915
31. 600 392 и 669 688
32. 609 928 и 686 072
33. 624 184 и 691 256
34. 635 624 и 712 216
35. 643 336 и 652 664
36. 667 964 и 783 556
37. 726 104 и 796 696
38. 802 725 и 863 835
39. 879 712 и 901 424
40. 898 216 и 980 984
41. 947 835 и 1 125 765
42. 998 104 и 1 043 096
43. и т. д.

Способы построения

Формула Сабита ибн Курры

Если для натурального числа [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] все три числа:

[math]\displaystyle{ p=3\times 2^{n-1}-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ q=3\times 2^n-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ r=9\times 2^{2n-1}-1 }[/math],

являются простыми, то числа [math]\displaystyle{ 2^npq }[/math] и [math]\displaystyle{ 2^nr }[/math] образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для [math]\displaystyle{ n=2,\;4,\;7 }[/math], но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для [math]\displaystyle{ n\lt 20~000, }[/math] не существует.

Формула Эйлера

Эйлер расширил формулу Сабита ибн Курры. Если для натуральных [math]\displaystyle{ n\gt m }[/math] все три числа:

[math]\displaystyle{ p=(2^{n-m}+1)\times 2^m-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ q=(2^{n-m}+1)\times 2^n-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ r=(2^{n-m}+1)^2\times 2^{m+n}-1 }[/math],

являются простыми, то числа [math]\displaystyle{ 2^npq }[/math] и [math]\displaystyle{ 2^nr }[/math] образуют пару дружественных чисел. Формула Сабита ибн Курры получается из формулы Эйлера подстановкой [math]\displaystyle{ m=n-1 }[/math]. Формула Эйлера добавила к списку дружественных чисел всего 2 пары: [math]\displaystyle{ (m,n) = (1,8), (29,40). }[/math]

Метод Вальтера Боро

Если для пары дружественных чисел вида [math]\displaystyle{ A=au }[/math] и [math]\displaystyle{ B=as }[/math] числа [math]\displaystyle{ s }[/math] и [math]\displaystyle{ p=u+s+1 }[/math] являются простыми, причём [math]\displaystyle{ a }[/math] не делится на [math]\displaystyle{ p }[/math], то при всех натуральных [math]\displaystyle{ n }[/math], при которых оба числа [math]\displaystyle{ q_1=(u+1)p^{n+1}-1 }[/math] и [math]\displaystyle{ q_2=(u+1)(s+1)p^n-1 }[/math] просты, числа [math]\displaystyle{ B_1=A p^n q_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B_2=ap^nq_2 }[/math] — дружественные.

Открытые проблемы

Неизвестно, конечно ли или бесконечно количество пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.

Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.

Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 10⁶⁷.

Интересные факты

Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка известного виртуоза и композитора. Любопытно, что эту пару не обнаружили другие великие математики.

Сначала количество известных дружественных чисел с n знаками преимущественно растёт, достигая максимума при n = 111 (известно 19 790 790 пар дружественных чисел с 111 десятичными цифрами), но далее преимущественно падает, достигая нуля при n = 917 (нет известных 917-значных пар дружественных чисел). Здесь под количеством цифр пары понимается количество цифр меньшего из чисел пары.

Проект BOINC

30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на видеокарте.

См. также

• Обручённые числа
• Совершенное число
• Компанейские числа

Ссылки

• M. García, J. M. Pedersen, H. J. J. te Riele. Amicable pairs, a survey (неопр.) // Report MAS-R0307. — 2003. Архивировано 29 ноября 2006 года. Архивная копия от 29 ноября 2006 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Amicable Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Euler's Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Amicable Numbers — BOINC проект по поиску дружественных чисел.